در این فیلم آموزشی به حل نمونه تست هایی راجع به قوانین گزاره ها و قوانین مهم منطق گزاره ها شامل نقیض گزاره شرطی، عکس نقیض گزاره شرطی، خاصیت جا به جایی گزاره ها، شرکت پذیری، پخشی، خاصیت جذب گزاره ها خواهیم پرداخت.
تست اول) نقیض گزاره ” اگر عددی اول باشد آن گاه p2 + 1 نیز اول است” کدام است؟
- p عدد اول است و p2 + 1 اول نیست.
- اگر p اول باشد آن گاه p2 + 1 اول نیست.
- p اول نیست یا p2 + 1 اول است.
- اگر p اول نباشد آن گاه p2 + 1 نیز اول نیست.
گزینه 1 پاسخ صحیح می باشد.
می دانیم گزاره های زیر با یکدیگر هم ارز هستند:
p ⇒ q ≡ ∼ Ρ ∨ q در نتیجه ∼ (∼ Ρ ∨ q) ≡ Ρ ∧ ∼ q
بنابراین نقیض عبارت شرطی ذکر شده به صورت” عددی اول است و p2 + 1 اول نیست.” خواهد بود.
تست دوم) عکس نقیض گزاره ” اگر n2 فرد باشد، آن گاه n نیز فرد است” به کدام صورت است؟
- اگر N فرد باشد، آن گاه N2 نیز فرد است.
- اگر N فرد نباشد، آن گاه N2 فرد است.
- اگر N فرد باشد، آن گاه N2 نیز فرد نیست.
- اگر N فرد نباشد، آن گاه N2 نیز فرد نیست.
گزینه 4 پاسخ صحیح می باشد.
عکس نقیض گزاره شرطی Ρ ⇒ q به صورت زیر می باشد:
∼ q ⇒ ∼ Ρ
بنابراین عکس نقیض عبارت شرطی ذکر شده به صورت ” اگر فرد نباشد، آن گاه N2 نیز فرد نیست.” خواهد بود.
قوانین مهم منطق گزاره ها: برخی از قوانین مهم در منطق گزاره ها به شکل زیر می باشد:
- خاصیت جا به جایی
Ρ ∧ q = q ∧ Ρ
Ρ ∨ q = q ∨ Ρ
- خاصیت شرکت پذیری
Ρ ∨ (q ∨ r) = (Ρ ∨ q) ∨ r
Ρ ∧ (q ∧ r) = (Ρ ∧ q) ∧ r
- خاصیت پخشی:
Ρ ∨ (q ∧ r) = (Ρ ∨ q) ∧ (Ρ ∨ r)
Ρ ∧ (q ∨ r) = (Ρ ∧ q) ∨ (Ρ ∧ r)
- خاصیت جذب
Ρ ∨ (q ∧ Ρ) ≡ Ρ
Ρ ∧ (q ∨ Ρ) = Ρ
تست سوم) کدام گزینه هم ارز منطقی گزاره p نیست؟
- p ∨ (Ρ ∧ q)
- Ρ ∧ (Ρ ∨ q)
- q ∨ ∼ q ⇒ Ρ
- Ρ ⇒ q ∨ ∼ q
گزینه 4 پاسخ صحیح می باشد.گزینه ا و 2 طبق قانون جذب هم ارز p می باشند. در گزینه۳، q ∨ ∼ q همواره درست است. گزاره شرطی که مقدم آن درست باشد، به تالی وابسته خواهد بود. لذا گزینه 3 نیز هم ارز p می باشد. در گزینه۴، q ∨ ∼ q همواره درست بوده و گزاره شرطی که تالی آن درست باشد، همواره درست خواهد بود.
تست چهارم) برای اثبات گزاره ” اگر 5n + 3 زوج باشد، آن گاه n فرد است” بهتر است کدام گزینه را اثبات کنیم؟
- اگر n زوج باشد، آن گاه 5n + 3 زوج است.
- اگر n فرد باشد، آن گاه 5n + 3 زوج است.
- اگر n زوج باشد، آن گاه 5n + 3 فرد است.
- اگر 5n + 3 فرد باشد، آن گاه n فرد است.
گزینه 3 پاسخ صحیح می باشد.
به منظور اثبات این گزاره بهتر است از عکس نقیض آن استفاده شود. عکس نقیض آن به صورت ” اگر n فرد نباشد، آن گاه 5n + 3 زوج نیست” می باشد که معادل با ” اگر زوج باشد، آن گاه 5n + 3 فرد است.” خواهد بود.
خاصیت شرکت پذیری در گزاره ها به شکل زیر خواهد بود:
Ρ ∨ (q ∨ r) = (Ρ ∨ q) ∨ r
Ρ ∧ (q ∧ r) = (Ρ ∧ q) ∧ r
در واقع این خاصیت بیان می کند، اگر علامت های “و” و “یا” بین تمام گزاره ها یکسان باشد، می توان پرانتز ها و گزاره ها را جا به جا نمود.
خیر. به منظور سهولت، برای اثبات برخی از گزاره های شرطی می توان عکس نقیض آن ها را اثبات نمود.
خاصیت شرکت پذیری در گزاره ها به صورت زیر می باشد:
Ρ ∨ (q ∨ r) = (Ρ ∨ q) ∨ r
Ρ ∧ (q ∧ r) = (Ρ ∧ q) ∧ r
