در این فیلم آموزشی با موضوع دنباله هندسی، قدرنسبت و جمله عمومی دنباله هندسی آشنا خواهید شد.
دنباله هندسی چیست؟
دنباله هندسی دنباله ای است که در آن هر جمله ( به جز جمله اول) از ضرب جمله قبل از خودش در عددی ثابت و غیر صفر به دست می آید. این عدد ثابت را قدرنسبت دنباله هندسی می نامیم. جمله اول هم باید غیر صفر باشد. قدرنسبت را با q یا r نشان خواهیم داد.
جمله عمومی دنباله هندسی به صورت زیر می باشد:
مثال) دنباله زیر دنباله هندسی با قدرنسبت r=3 است.
√2, 3√2, 9√2, 27√2
به مثال دوم توجه کنید:
مثال) جملات چهارم و هفتم یک دنباله هندسی به ترتیب 13 و 104 هستند. قدرنسبت این دنباله هندسی را تعیین کنید؟
با توجه به رابطه جمله عمومی دنباله هندسی، داریم:
از تقسیم تساوی های بالا بر یکدیگر داریم:
r3=8 ⇒ r=2
بنابراین مقدار قدرنسبت برابر با 2 به دست آمد.
قدر نسبت دنباله هندسی با q یا r نشان داده می شود.
نمونه تست دنباله هندسی
به نمونه تست اول دقت کنید:
تست اول) حاصل ضرب سی جمله اول دنباله هندسی 2, 4, 8, … کدام است؟
1- 2450
2- 2455
3- 2460
4- 2465
گزینه 4 پاسخ صحیح می باشد.
با توجه به موارد داده شده، جمله اول این دنباله هندسی برابر با 2 و قدرنسبت آن نیز 2 می باشد. بنابراین جمله عمومی این دنباله به صورت زیر خواهد بود:
حال حاصل ضرب سی جمله اول این دنباله هندسی را به صورت زیر محاسبه خواهیم کرد:
به منظور فهم بهتر موضوع به تست زیر توجه فرمایید:
تست دوم) کاوه دوچرخه ای را به قیمت 900 هزار تومان خرید. فرض کنید قیمت دوچرخه در هر سال 10 درصد نسبت به سال قبل از خودش کاهش یابد. قیمت دوچرخه بعد از گذشت n سال از چه رابطه ای به دست می آید؟ (رابطه بر حسب هزار تومان)
1- 900 (0.1)n
2- 900 (1.1)n
3- 900 (0.9)n
4- 900 (1.9)n-1
گزینه 3 پاسخ صحیح می باشد.
قیمت دوچرخه در پایان سال اول برابر می شود با:
قیمت دوچرخه در پایان سال دوم برابر است با:
بنابراین قیمت دوچرخه در پایان سال n ام برابر می شود با:
برای آشنایی بیشتر با موضوع دنباله هندسی و تست های آن می توانید ویدئو آموزشی را مشاهده کنید.
سوالات متداول
به دنباله ای که در آن هر جمله ( به جز جمله اول) از ضرب جمله قبل از خودش در عددی ثابت و غیر صفر به دست آید، دنباله هندسی گفته خواهد شد.
در دنباله هندسی، هر جمله از ضرب جمله قبل از خودش در عددی ثابت و غیر صفر به دست می آید. به عدد ثابت مذکور قدرنسبت دنباله گفته خواهد شد. جمله اول دنباله هندسی باید غیر صفر باشد. قدرنسبت دنباله هندسی را با q یا r نشان می دهیم.
برای محاسبه جمله عمومی دنباله هندسی، باید جمله اول دنباله هندسی را در قدرنسبت به توان n-1 ضرب نمائیم.
