در این ویدئو آموزشی با موضوع روابط بین ریشه ها در معادله درجه دوم، نکات تستی و کنکوری آن آشنا خواهید شد.
روابط بین ریشه ها در معادله درجه دو
اگر x1 و x2 ریشه‌های معادلۀ ax2+bx+c=0 باشند، آن‌گاه:
مثال) حاصل ضرب و مجموع ریشه های معادله زیر را به دست آورید:
4x2-11x+3=0
با توجه به روابط بین ریشه ها، می توانیم حاصل ضرب و جمع ریشه ها را به صورت زیر به دست آوریم:
مجموع ریشه ها S=x1+x2=-(-11/4)=11/4
ضرب ریشه ها P=x1x2=3/4
در معادله درجه دوم حاصل ضرب ریشه ها، برابر با c/a می باشد.
نمونه تست حاصل جمع و ضرب ریشه ها در معادله درجه دو
به نمونه تست زیر در مورد روابط بین ریشه ها در معادله درجه دوم توجه کنید:
تست) در معادلۀ درجه‌دوم 2x2+kx+1-k=0 ، اگر حاصل‌ضرب دو ریشه برابر 5 باشد، ریشۀ بزرگتر کدام است؟
1- 2.5
2- 5
3- 3
4- 4
پاسخ : گزینه 1 پاسخ صحیح می باشد.
حاصل ضرب ریشه ها برابر با c/a می باشد. لذا در صورت سوال گفته شده حاصل ضرب برابر با 5 است با توجه به برابری این دو رابطه داریم:
2x2+kx+1-k=0⇒ضرب ریشه ها =(1-k)/2 از طرفی P=5⇒(1-k)/2=5⇒1-k=10⇒k=-9
بنابراین مقدار k را در معادله جایگذاری کرده و ریشه ها را به دست می آوریم:
2x2-9x+1-k=0⇒Δ=81-80=1⇒x=(9+1)/4=10/4=2.5 , x=(9-1)/4=2
بنابراین مقدار ریشه بزرگتر برابر با 2.5 به دست آمد.
به نمونه تست دوم توجه فرمایید:
تست) اگر x1 و x2 ریشه‌های معادلۀ 3x2+2x-1=0 باشند، حاصل x1x22+x2x12 کدام است؟
1- 2/3
2- 2/9
3- 2/9-
4- 2/3-
پاسخ : گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.
ابتدا با توجه به فرمول روابط بین ریشه ها، حاصل جمع و ضرب ریشه ها را به صورت زیر به دست می آوریم:
S=x1+x2=-2/3
P=x1x2=-1/3
حال مقدار خواسته شده را به صورت زیر تجزیه کرده و حاصل را به دست خواهیم آورد:
x1x22+x2x12=x1x2(x1+x2)=(-1/3)×(-2/3)=2/9
به منظور فهم بهتر روابط بین ریشه ها در معادله درجه دوم و نکات آن می توانید ویدئو آموزشی را مشاهده کنید.
سوالات متداول
در معادله درجه دوم مجموع ریشه ها برابر با منفی حاصل تقسیم b بر a می باشد.
در معادله درجه دوم ضرب ریشه ها برابر با حاصل تقسیم c بر a می باشد.
