در این فیلم آموزشی در مورد احتمال شرطی و نکات آن توضیح داده شده است.
احتمال شرطی چیست؟
احتمال شرطی در مورد مسائلی صحبت می کند که صورت سوال اطلاعاتی در اختیار ما قرار می دهد که به جواب واقعی نزدیک تر می شویم.
منظور از “احتمال A به شرط B” که آن را با نماد P(A|B) نمایش می دهیم، احتمال وقوع پیشامد A است به شرط آنکه بدانیم پیشامد B رخ داده است. در این صورت داریم:
مثال) تاسی را پرتاب می کنیم، احتمال آنکه عدد 6 ظاهر شود به شرط آنکه بدانیم عدد ظاهر شده زوج است، چقدر است؟
در صورت سوال گفته شده عدد ظاهر شده زوج است، بنابراین فضای نمونه ای به کاهش پیدا خواهد کرد. بنابراین احتمال ظاهر شدن عدد 6 به صورت زیر خواهد بود:
P(6)=1/3
به مثال بعدی توجه کنید:
مثال) تاسی را دو بار پرتاب می کنیم، اگر بدانیم اعداد ظاهر شده یکسان هستند، احتمال آنکه مجموع آن ها 4 باشد، چقدر است؟
اگر تاس را دو بار پرتاب کنیم، فضای نمونه 36 حالت خواهد بود. ولی چون گفته شده اعداد ظاهر شده یکسان هستند، فضای نمونه به اعداد یکسان محدود خواهد شد. در واقع فضای نمونه به صورت زیر خواهد بود.
S={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5,), (6,6)}
بنابراین فضای نمونه 6 حالت خواهد شد. احتمال آنکه مجموع 4 شود، فقط زوج (2.2) است.
P=1/6
منظور از احتمال A به شرط B، احتمال وقوع پیشامد A است به شرط آنکه بدانیم پیشامد B رخ داده است.
نمونه تست احتمال شرطی
به نمونه تست زیر توجه کنید:
تست اول) تاسی را 3 بار پرتاب می کنیم، اگر بدانیم اعداد ظاهر شده فرد هستند، احتمال آنکه مجموع آن ها 5 باشد، کدام است؟
الف) 1/9
ب) 1/6
ج) 7/216
د) 1/27
گزینه 1 پاسخ صحیح می باشد.
چون گفته شده اعداد ظاهر شده فرد هستند، بنابراین فضای نمونه ای به صورت زیر خواهد بود.
n(S)=3×3×3=27
احتمال آنکه مجموع برابر با 5 باشد، به صورت زیر می باشد.
(3, 1 ,1) :مجموع 5
حالت (3 ,1, 1)، !2/!3 برابر با 3 حالت جایگشت دارد.
بنابراین احتمال خواسته شده به صورت زیر محاسبه خواهد شد.
به نمونه تست دوم توجه کنید:
تست دوم) در یک مسابقه اتومبیل رانی احتمال آن که یک اتومبیل دچار نقص فنی نشود و به خط پایان نیز برسد، 0.7 است و احتمال اینکه یک اتومبیل دچار نقص فنی نشود 0.8 است، اگر بدانیم یک اتومبیل دچار نقص فنی نشده است، با چه احتمالی به خط پایان می رسد؟
الف) 1
ب) 7/10
ج) 4/5
د) 7/8
گزینه 4 پاسخ صحیح می باشد.
با توجه به صورت سوال روابط زیر را خواهیم داشت:
صورت سوال احتمال زیر را خواسته است.
نکته: در ارتباط با احتمال شرطی رابطه زیر را داریم:
P(A’|B)=1-P(A|B)
تست چهارم) اگر P(B|A)=1/5 حاصل P(A|A-B)+P(B’|A)+P(A-B|A∩B)،کدام است؟
الف) 9/5
ب) 14/5
ج) 4/5
د) 6/5
گزینه 1 پاسخ صحیح می باشد.
با توجه به P(B|A)=1/5، حاصل P(B’|A) به صورت زیر به دست خواهد آمد.
حتمال P(A|A-B) برابر با یک می باشد، چون A حتما رخ داده است.
بنابراین حاصل عبارت برابر با 4/5+1+0 یعنی 9/5 خواهد شد.
به منظورآشنایی بیشتر با موضوع پیوستگی و نمونه تست های آن فیلم آموزشی را مشاهده کنید.
سوالات متداول
به احتمال وقوع پیشامد A است به شرط آنکه بدانیم پیشامد B رخ داده است، احتمال شرطی یعنی “احتمال A به شرط B” گفته شده و با نماد P(A|B) نمایش داده می شود.
احتمال اجتماع دو مجموعه را به صورت زیر می توان بر حسب اشتراک دو مجموعه به دست آورد.
P ( A ∪B)=P (A)+P ( B)-P (A ∩B)
فرمول “احتمال A به شرط B” که با نماد P(A|B) نشان داده می شود، به صورت زیر خواهد بود.
P(A│B)= (P(A ∩B))/(P(B)) (P(B)≠0)
