در این فیلم آموزشی با قانون احتمال کل و نمونه سوالات تستی آن آشنا خواهید شد.
قانون احتمال کل: می خواهیم احتمال پیشامد A را محاسبه کنیم در حالتی که وقوع این پیشامد به پشامدهای A1، A2، A3، … و An وابسته است: یعنی ممکن است A1 رخ داده باشد و A رخ دهد یا A2 رخ داده باشد و A رخ دهد و به همین ترتیب ممکن است An رخ داده باشد و A رخ دهد. بدین منظور به کمک قانون ضرب احتمال هر کدام از حالت ها را جداگانه حساب کرده و در نهایت با هم جمع می کنیم. به این فرآیند، “قانون احتمال کل” می گوییم.
نکته: در مسائل قانون احتمال کل برای سهولت و پرهیز از فرمول، رایج است از نمودار درختی استفاده شود.
مثال) ظرف A شامل 2 مهره سفید و 3 مهره سبز و ظرف B شامل 1 مهره سفید و 9 مهره سبز است. یکی از ظرف ها را به تصادف انتخاب کرده و مهره ای از آن خارج می کنیم. چقدر احتمال دارد این مهره سفید باشد؟
یکی از ظرف ها را انتخاب کرده که احتمال انتخاب هر کدام برابر با 1/2 است. یعنی داریم:
بنابراین حاصل برابر با عبارت زیر خواهد شد:
قانون احتمال کل به منظور محاسبه احتمال یک پیشامد در صورت وابسته بودن به پیشامدهای دیگر استفاده می شود.
به نمونه تست اول توجه کنید:
تست اول) جعبه A شامل 18 لامپ سالم و 6 لامپ معیوب و جعبه B شامل 15 لامپ سالم و 3 لامپ معیوب است. از جعبه A تعداد 8 لامپ و از جعبه B تعداد 6 لامپ به تصادف برداشته و در جعبه خالی C قرار می دهیم. با کدام احتمال، لامپ انتخابی از جعبه C معیوب خواهد بود؟
الف) 17/105
ب) 5/14
ج) 3/14
د) 19/105
گزینه ج پاسخ صحیح می باشد.
داخل جعبه C، 14 لامپ وجود دارد. لامپ انتخابی از جعبه C یا از جعبه A یا از جعبه B خواهد بود. بنابراین داریم:
بنابراین احتمال خواسته شده است به صورت زیر می باشد:
به تست بعدی دقت کنید:
تست دوم) در ظرف A تعداد 5 مهره سفید و 4 مهره سیاهو در ظرف B تعداد 7 مهره سفید و 10 مهره سیاه موجود است. از ظرف A یک مهره برداشته و بدون رویت در ظرف B قرار داده، آن گاه از ظرف B یک مهره خارج می کنیم. با کدام احتمال مهره خارج شده از ظرف B سفید است؟
الف) 8/27
ب) 11/27
ج) 34/81
د) 41/81
گزینه ج پاسخ صحیح می باشد.
دو حالت وجود دارد. مهره اولیه خارج شده از A سفید است یا سیاه. یعنی داریم:
لذا احتمال خواسته شده است به صورت زیر به دست می آید:
برای فهم بهتر موضوع به تست سوم دقت کنید:
تست سوم) در جعبه تعداد 4 مهره سفید و 3 مهره سیاه و در جعبه تعداد 3 مهره سفید و 6 مهره سیاه موجود است. به تصادف یکی از جعبه ها را انتخاب کرده و 2 مهره با هم از آن خارج می کنیم. چقدر احتمال دارد این دو مهره سفید باشند؟
الف) 31/168
ب) 11/56
ج) 17/84
د) 13/56
گزینه الف پاسخ صحیح می باشد.
یا ظرف A و یا ظرف B انتخاب می شود:
بنابراین احتمال خواسته شده برابر است با:
برای آشنایی بیشتر با موضوع قانون احتمال کل و تست های آن می توانید ویدئو آموزشی را مشاهده کنید.
در سوالات مربوط به قانون احتمال کل به منظور سهولت و پرهیز از فرمول، از نمودار درختی می توان استفاده نمود.
فرض کنید بخواهید، احتمال پیشامد A را محاسبه کنید در حالتی که وقوع پیشامد مذکور به پشامدهای A1، A2، A3، … و An وابسته باشد. در این صورت به کمک قانون ضرب احتمال هر کدام از حالت ها را جداگانه محاسبه کرده و در نهایت با یکدیگر جمع خواهیم کرد. به فرآیند بیان شده، “قانون احتمال کل” گفته خواهد شد.
در قانون احتمال کل از قانون ضرب احتمال ها استفاده شده و با کمک این قانون، هر کدام از حالت ها را جداگانه محاسبه می کنیم و سپس آن ها را با یکدیگر جمع می نمائیم.
مؤسسه آموزشی فرهنگی گزینهدو برگزارکننده آزمون آزمایشی ویژۀ داوطلبان آزمون سراسری و آزمون‌های استاندارد ارزشیابی پیشرفت تحصیلی در دورۀ اول متوسطه و پایه‌های دهم و یازدهم می‌باشد. گزینهدو به‌عنوان یک مؤسسه پیشرو در زمینه خدمات نوین آموزشی، نرم‌افزارهای گوناگونی را جهت بهبود فرآیند آموزش و سنجش برای دانش‌آموزان و مدارس ارائه می‌کند.
مؤسسه آموزشی فرهنگی گزینهدو برگزارکننده آزمون آزمایشی ویژۀ داوطلبان آزمون سراسری و آزمون‌های استاندارد ارزشیابی پیشرفت تحصیلی در دورۀ اول متوسطه و پایه‌های دهم و یازدهم می‌باشد. گزینهدو به‌عنوان یک مؤسسه پیشرو در زمینه خدمات نوین آموزشی، نرم‌افزارهای گوناگونی را جهت بهبود فرآیند آموزش و سنجش برای دانش‌آموزان و مدارس ارائه می‌کند.
