در این فیلم آموزشی به موضوع مجموعه ها، زیر مجموعه ها، عضویت و تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه n عضوی پرداخته شده است.
در این قسمت به معرفی مجموعه و زیر مجموعه می پردازیم.
تعلق ( عضویت) : می گوییم a متعلق به مجموعه A است و می نویسیم a ∈ A هرگاه a عضوی از مجموعه A باشد. اگر a عضو مجموعه A نباشد، می نویسی a ∉ A.
مثال) در مجموعه { {Ø}.Ø}.A = {Ø.{Ø} داریم:
Ø ∈ A .{{Ø} } ∉A
زیر مجموعه بودن: می گوییم مجموعه A زیر مجموعه B است و می نویسیم A ⊆ B، هرگاه هر عضو مجموعه A در مجموعه B وجود داشته باشد. در واقع برای زیر مجموعه رابطه زیر را داریم:
a ⊆ b ⇔ ∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B
اگر حداقل یک عضو از مجموعه A در مجموعه B موجود نباشد، می گوییم A زیر مجموعه B نیست و می نویسیم: A ⊄ B
برای زیر مجموعه نبودن رابطه زیر برقرار است:
A ⊄ B ⇔ ∃ x ∈ A . x ∉ B
مثال) در مجموعه { {Ø}.Ø} .A = {Ø.{Ø} داریم:
تست اول) اگر 
باشد، کدام رابطه نادرست است؟
- a. {a} } ∈ A}
- a. {a} } ⊆ A}
- a.b} ∈ A}
- a.b} ⊆ A}
گزینه 4 پاسخ صحیح می باشد.
گزینه1 درست است، زیرا a. {a} } ∈ A} می باشد. گزینه 2 و 3 نیز صحیح است. برای بررسی زیر مجموعه بودن، آکولاد را برمی داریم، اگر اعضای به دست آمده عضو مجموعه باشند، آن گاه مجموعه مورد نظر، زیر مجموعه ی مجموعه اصلی خواهد بود. در گزینه4، اگر آکولاد را برداریم، عضو مجموعه A نمی باشند، لذا {a.b}، زیر مجموعه A نخواهد بود.
تست دوم) کدام بیان در مورد مجموعه های a}.b.c}.a} C = , B = {b.c.{a}} , A = {a}}}} نادرست است؟
- A ∈ B
- A ∈ C
- B ∈ C
- A ⊆ C
گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.
گزینه1، 3 و 4 درست هستند. ولی در گزینه2، A عضو مجموعه C نمی باشد.
تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه n عضوی به صورت زیر به دست می آید:
زیر مجموعه های صفر عضوی:
مجموعه تهی
زیر مجموعه های یک عضوی: 
زیر مجموعه های دو عضوی: 
زیر مجموعه های n عضوی: 
خود مجموعه
جمع زیر مجموعه ها
نتیجه: هر مجموعه n عضوی تعداد 2n زیر مجموعه دارد.
فرض کنید A و B دو مجموعه باشند، آنگاه مجموعه A زیر مجموعه B است، هرگاه هر عضو مجموعه A در مجموعه B وجود داشته باشد و به صورت A ⊆ B نوشته می شود. برای زیر مجموعه بودن رابطه زیر را خواهیم داشت:
A ⊆ B ⇔ ∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B
در صورتی که حداقل یک عضو از مجموعه A در مجموعه B وجود نداشته باشد، گفته می شود A زیر مجموعه B نیست و به شکل A ⊄ B نوشته خواهد شد. در واقع برای زیر مجموعه نبودن رابطه زیر را داریم:
A ⊆ B ⇔ ∃ x ∈ A . x ∉ B
بدین منظور باید تمام زیر مجموعه های صفر، یک، دو، … و n عضوی را با یکدیگر جمع کنیم. در واقع هر مجموعه n عضوی دارای 2n زیر مجموعه می باشد.
گفته می شود a متعلق به مجموعه A است، هرگاه a عضوی از مجموعه A باشد و به صورت a ∈ A نمایش داده می شود.
