در این فیلم آموزشی به موضوع مقایسه نمودار یک تابع و معکوس آن و ترکیب تابع با معکوسش می پردازیم.
مقایسه نمودار یک تابع و معکوس تابع
مقایسه نمودار f و f-1 : نمودار یک تابع و معکوسش نسبت به خط y = x قرینه یکدیگر است. پس با داشتن نمودار f می توانیم نمودار f-1 را رسم کنیم.
به ازای x > 0، توابع y=x2 و y=√x معکوس یکدیگر هستند و نسبت به خط y = x قرینه یکدیگر هستند. به شکل زیر توجه کنید:
به همین جهت اگر تابعی معکوس پذیر باشد و نیمساز ناحیه اول و سوم را در A(α, α) قطع کند، آن گاه در این نقطه f-1 را نیز قطع خواهد کرد.
تابع f و f-1 ممکن است به غیر از نیمساز ناحیه اول و سوم در نواحی دیگر نیز با همدیگر تلاقی داشته باشند.
نمودار یک تابع و معکوسش نسبت به خط y=x قرینه یکدیگر می باشند.
ترکیب یک تابع و معکوسش
در ایم بخش به ویژگی های تابع و تابع معکوس می پردازیم. اگر f معکوس پذیر باشد، ویژگی های زیر برقرار است.
ترکیب تابع با معکوسش، تابع همانی خواهد شد. در واقع رابطه زیر را خواهیم داشت.
اگر f و g توابعی معکوس پذیر باشند fog تابعی معکوس پذیر است و رابطه زیر برقرار است.
فرض کنید تابع f=x+1 و g=-x+3 باشد. آن گاه جمع این دو تابع معکوس پذیر نمی باشد. ولی اگر f و g معکوس پذیر باشند آن گاه ترکیب این دو تابع یعنی f o g، حتما معکوس پذیر است.
اگر f(α)=β باشد، آن گاه f-1(β)=α خواهد بود.
تست) اگر f(2x+1)=g(x) و f-1(x)=4x-1 ، حاصل g-1(x) چه عددی است؟
- 15
- 17
- 31
- 33
گزینه 1 پاسخ صحیح می باشد.
فرض کنیم g-1(8) برابر با α باشد. بنابراین روابط زیر را داریم.
بنابراین g-1(15) برابر با 15 شد. لذا گزینه 1 پاسخ صحیح می باشد.
به منظور یادگیری بیشتر موضوع ترکیب یک تابع و معکوسش و نمودار تابع با معکوسش می توانید ویدئو آموزشی را مشاهده کنید.
سوالات متداول
هنگامی که دو تابع f و g معکوس پذیر باشند، آن گاه ترکیبشان یعنی fog نیز تابعی معکوس پذیر خواهد بود.
ترکیب هر تابع با معکوسش، تابع همانی می شود.
خیر. لزوما جمع دو تابع معکوس پذیر، معکوس پذیر نیست. در مورد تفریق، ضرب هم به همین صورت است و تفریق، ضرب دو تابع معکوس پذیر، لزوما معکوس پذیر نمی باشد.
آیا تابعی وجود دارد که هم معکوس داشته باشد هم با معکوسش برابر باشد