در این فیلم آموزشی در مورد شاخص های مرکزی، میانگین، میانه و ویژگی های آن ها توضیح داده شده است.
شاخص های مرکزی (میانه)
از مهم ترین شاخص های مرکزی به میانه و میانگین می توان اشاره کرد.
میانه: پس از مرتب کردن داده ها، مقداری را که تعداد داده های بعد از آن با تعداد داده های قبل از آن برابر است میانه می نامیم و آن را با نمایش می دهیم.
مثال) میانه داده های زیر را به دست آورید؟
7, 8, 11, 17, 20
پاسخ : در مثال بالا، میانه برابر با 11 خواهد بود.
به نمونه تست زیر توجه کنید:
تست) اگر میانه داده های x1, x2, x3, …., x10 برابر 6 باشد، در داده های 2x1-3, 2x2-3, ……2x10-3و مقدار Q2 کدام است؟
الف) 9
ب) 12
ج) 3
د) 6
گزینه 1 پاسخ صحیح می باشد.
هر تغییرات خطی که در داده ها رخ دهد، در میانه نیز آن تغییرات خطی رخ خواهد داد. پس در داده های جدید میانه برابر با 3-6×2 یعنی 9 خواهد شد.
میانه، یکی از شاخص های مرکزی مهم و پر کاربرد می باشد.
شاخص های مرکزی (میانگین)
تعریف میانگین: متوسط یا مرکز ثقل داده ها است که آن را با نماد ē نشان می دهیم و برابر است با :
که در آن xi داده ها و n برابر با تعداد کل داده ها است.
مثال) اگر میانگین داده های x+2، 2x-y+2، 3x+y+5، 4x-7 برابر 13 باشد، مقدار x کدام است؟
پاسخ : طبق فرمول میانگین رابطه زیر را داریم:
بنابراین مقدار x برابر با 5 به دست آمد.
به نمونه تست زیر توجه کنید:
تست) اگر میانگین داده های x2+1, x2+x, x2-3x+3 برابر 9 باشد، مجموع مقادیر x کدام است؟
الف) 7-
ب) 7
ج) 2/3
د) 2/3-
گزینه 3 پاسخ صحیح می باشد.
بر طبق فرمول میانگین رابطه زیر را خواهیم داشت:
با توجه به معادله درجه دوم بالا، مجموع مقادیر x برابر با 2/3=S=-b/a خواهد شد.
حال به بررسی ویژگی های میانگین می پردازیم.
الف) اگر میانگین داده های x1، x2 ، x3 … و xn برابر x باشد. برای میانگین داده های ax2+b، ax3+b ، ax1+b ، … و axn+b رابطه زیر را داریم:
ب) اگر داده ها دنباله حسابی تشکیل دهند، میانگین برابر جمله وسط (یا میانگین جملات اول و آخر) است.
ج) جمع اختلاف از میانگین ها همواره برابر با صفر است. در واقع رابطه زیر همواره برقرار است:
به منظور یادگیری بیشتر چگونگی محاسبه شاخص های مرکزی مانند میانگین و مد ویدئوی آموزشی این جلسه را مشاهده نمایید.
سوالات متداول
اگر داده ها را به ترتیب بچینیم، به داده ای که وسط داده ها قرار می گیرد، میانه گفته می شود. اگر تعداد داده ها زوج باشد، به میانگین دو داده ای که در وسط قرار می گیرد، میانه گفته خواهد شد.
به متوسط یا مرکز ثقل داده ها میانگین گفته می شود.
اگر داده ها باعث ایجاد دنباله حسابی شوند، در آن صورت میانگین برابر جمله وسط (یا میانگین جملات اول و آخر) خواهد بود.
