در این فیلم آموزشی با قانون احتمال کل و نمونه سوالات تستی آن آشنا خواهید شد.
قانون احتمال کل چیست؟
قانون احتمال کل: می خواهیم احتمال پیشامد A را محاسبه کنیم در حالتی که وقوع این پیشامد به پشامدهای A1، A2، A3، … و An وابسته است: یعنی ممکن است A1 رخ داده باشد و A رخ دهد یا A2 رخ داده باشد و A رخ دهد و به همین ترتیب ممکن است An رخ داده باشد و A رخ دهد. بدین منظور به کمک قانون ضرب احتمال هر کدام از حالت ها را جداگانه حساب کرده و در نهایت با هم جمع می کنیم. به این فرآیند، “قانون احتمال کل” می گوییم.
نکته: در مسائل قانون احتمال کل برای سهولت و پرهیز از فرمول، رایج است از نمودار درختی استفاده شود.
مثال) ظرف A شامل 2 مهره سفید و 3 مهره سبز و ظرف B شامل 1 مهره سفید و 9 مهره سبز است. یکی از ظرف ها را به تصادف انتخاب کرده و مهره ای از آن خارج می کنیم. چقدر احتمال دارد این مهره سفید باشد؟
یکی از ظرف ها را انتخاب کرده که احتمال انتخاب هر کدام برابر با 1/2 است. یعنی داریم:
بنابراین حاصل برابر با عبارت زیر خواهد شد:
قانون احتمال کل به منظور محاسبه احتمال یک پیشامد در صورت وابسته بودن به پیشامدهای دیگر استفاده می شود.
نمونه تست قانون ضرب احتمال
به نمونه تست اول توجه کنید:
تست اول) جعبه A شامل 18 لامپ سالم و 6 لامپ معیوب و جعبه B شامل 15 لامپ سالم و 3 لامپ معیوب است. از جعبه A تعداد 8 لامپ و از جعبه B تعداد 6 لامپ به تصادف برداشته و در جعبه خالی C قرار می دهیم. با کدام احتمال، لامپ انتخابی از جعبه C معیوب خواهد بود؟
الف) 17/105
ب) 5/14
ج) 3/14
د) 19/105
گزینه ج پاسخ صحیح می باشد.
داخل جعبه C، 14 لامپ وجود دارد. لامپ انتخابی از جعبه C یا از جعبه A یا از جعبه B خواهد بود. بنابراین داریم:
بنابراین احتمال خواسته شده است به صورت زیر می باشد:
به تست بعدی دقت کنید:
تست دوم) در ظرف A تعداد 5 مهره سفید و 4 مهره سیاهو در ظرف B تعداد 7 مهره سفید و 10 مهره سیاه موجود است. از ظرف A یک مهره برداشته و بدون رویت در ظرف B قرار داده، آن گاه از ظرف B یک مهره خارج می کنیم. با کدام احتمال مهره خارج شده از ظرف B سفید است؟
الف) 8/27
ب) 11/27
ج) 34/81
د) 41/81
گزینه ج پاسخ صحیح می باشد.
دو حالت وجود دارد. مهره اولیه خارج شده از A سفید است یا سیاه. یعنی داریم:
لذا احتمال خواسته شده است به صورت زیر به دست می آید:
برای فهم بهتر موضوع به تست سوم دقت کنید:
تست سوم) در جعبه تعداد 4 مهره سفید و 3 مهره سیاه و در جعبه تعداد 3 مهره سفید و 6 مهره سیاه موجود است. به تصادف یکی از جعبه ها را انتخاب کرده و 2 مهره با هم از آن خارج می کنیم. چقدر احتمال دارد این دو مهره سفید باشند؟
الف) 31/168
ب) 11/56
ج) 17/84
د) 13/56
گزینه الف پاسخ صحیح می باشد.
یا ظرف A و یا ظرف B انتخاب می شود:
بنابراین احتمال خواسته شده برابر است با:
برای آشنایی بیشتر با موضوع قانون احتمال کل و تست های آن می توانید ویدئو آموزشی را مشاهده کنید.
سوالات متداول
در سوالات مربوط به قانون احتمال کل به منظور سهولت و پرهیز از فرمول، از نمودار درختی می توان استفاده نمود.
فرض کنید بخواهید، احتمال پیشامد A را محاسبه کنید در حالتی که وقوع پیشامد مذکور به پشامدهای A1، A2، A3، … و An وابسته باشد. در این صورت به کمک قانون ضرب احتمال هر کدام از حالت ها را جداگانه محاسبه کرده و در نهایت با یکدیگر جمع خواهیم کرد. به فرآیند بیان شده، “قانون احتمال کل” گفته خواهد شد.
در قانون احتمال کل از قانون ضرب احتمال ها استفاده شده و با کمک این قانون، هر کدام از حالت ها را جداگانه محاسبه می کنیم و سپس آن ها را با یکدیگر جمع می نمائیم.
ممنون عالی بود مرسی که تست های متفاوت هم حل میکنید
سلام محمد مهدی عزیز
امیدوارم تست‌های احتمال کل این ویدئو برای شما مفید باشه.