در این فیلم آموزشی با موضوع مجموعه مرجع، متمم یک مجموعه و ویژگی های متمم شامل قانون دمورگان آشنا خواهید شد.
مجموعه مرجع: در هر مبحث، مجموعه ای را که همه ی مجموعه های مورد بحث، زیر مجموعه آن باشند، مجموعه مرجع می نامیم و آن را با U نشان می دهیم.
متمم یک مجموعه: هرگاه U مجموعه مرجع باشد و A⊆U، آن گاه مجموعه U-A را “متمم A” می نامیم و آن را با نماد ‘A نشان می دهیم.
مثال 1) اگر A={x∈R | x>2} (مجموعه اعداد حقیقی بزرگتر از 2) در این صورت داریم:
A’={x∈R│x≤2} مجموعه متمم
مثال 2) اگر A={x∈N | 1<x≤5} در این صورت داریم:
A’={x∈N│x≤1 یا x>5} مجموعه متمم
متمم یک مجموعه دارای ویژگی های زیر خواهد بود:
1) ∅’=U , U’=∅
متمم مجموعه تهی برابر با مجموعه مرجع و متمم مجموعه مرجع برابر با مجموعه تهی خواهد بود.
2)A∪A’=U, A∩A’=∅
اجتماع هر مجموعه با متمم خود برابر با مجموعه مرجع و اشتراک هر مجموعه با متممش برابر با مجموعه تهی می باشد.
3) A⊆B ⟺ B’⊆A’
اگر از طرفین رابطه زیر مجموعه، متمم بگیریم جای مجموعه ها با یکدیگر تغییر خواهد کرد.
4) (A∪B)’=A’∩B’ , (A∩B)’=A’∪B’
به قانون بالا، قانون دمورگان گفته خواهد شد.
متمم یک مجموعه مجموعه ای است که شامل هیچ یک از اعضای مجموعه اصلی نباشد.
در این بخش به بررسی چند نمونه تست خواهیم پرداخت.
تست اول) چند تا از موارد زیر درست است؟
الف) مجموعه ای نامتناهی مثل A وجود دارد که ‘A هم نامتناهی است.
ب) مجموعه ای نامتناهی مثل B وجود دارد که ‘B متناهی باشد.
پ) اگر ‘A⊆B در این صورت ‘B⊆A
1- یک
2- دو
3- سه
4- صفر
گزینه 3 پاسخ صحیح می باشد.
مورد الف و ب کاملا صحیح است. زیرا متناهی یا نامتناهی بودن متمم بستگی به مجموعه مرجع دارد. مورد پ نیز کاملا درست است. زیرا در رابطه زیر مجموعه، جای دو مجموعه عوض شده است و متمم شده اند که کاملا صحیح است.
به نمونه تست دوم توجه فرمایید:
تست دوم) اگر A و B دو زیر مجموعه از اعداد صحیح باشند به طوری که A متناهی و B نامتناهی باشد، کدام مجموعه به طور حتم، نامتناهی است؟
1- A’∩B
2- ‘A’∩B
3- ‘A∩B
4- ‘A∪B
گزینه 1 پاسخ صحیح می باشد.
در گزینه 1، رابطه زیر را داریم:
A’∩B=B∩A’=B-A
مجموعه B نامتناهی و A متناهی است. تفاضل یک مجموعه متناهی از یک مجموعه نامتناهی، قطعا نامتناهی خواهد بود. لذا گزینه 1 درست است.
نکته 1: اجتماع یک مجموعه متناهی و نامتناهی، حتما مجموعه ای نامتناهی خواهد بود.
نکته 2: متمم یک مجموعه نامتناهی، هم می تواند مجموعه ای متناهی و هم نامتناهی باشد.
برای آشنایی بیشتر با موضوع مجموعه مرجع، متمم یک مجموعه و نمونه تست های آن می توانید ویدئو آموزشی را مشاهده کنید.
اگر متمم روی اجتماع مجموعه ها اثر کند، اجتماع تبدیل به اشتراک خواهد شد و متمم روی تمام اجزا وارد می شود. اگر متمم روی اشتراک مجموعه ها اثر کند، اشتراک تبدیل به اجتماع خواهد شد و اشتراک روی تمام مجموعه ها وارد می شود.
به مجموعه ای که همه ی مجموعه های مورد بحث، زیر مجموعه آن باشند، مجموعه مرجع گفته خواهد شد. مجموعه مرجع را با U نشان خواهیم داد.
اجتماع هر مجموعه با متممش برابر با مجموعه مرجع و اشتراک هر مجموعه با متمم خود برابر با مجموعه تهی خواهد بود.
مؤسسه آموزشی فرهنگی گزینهدو برگزارکننده آزمون آزمایشی ویژۀ داوطلبان آزمون سراسری و آزمون‌های استاندارد ارزشیابی پیشرفت تحصیلی در دورۀ اول متوسطه و پایه‌های دهم و یازدهم می‌باشد. گزینهدو به‌عنوان یک مؤسسه پیشرو در زمینه خدمات نوین آموزشی، نرم‌افزارهای گوناگونی را جهت بهبود فرآیند آموزش و سنجش برای دانش‌آموزان و مدارس ارائه می‌کند.
مؤسسه آموزشی فرهنگی گزینهدو برگزارکننده آزمون آزمایشی ویژۀ داوطلبان آزمون سراسری و آزمون‌های استاندارد ارزشیابی پیشرفت تحصیلی در دورۀ اول متوسطه و پایه‌های دهم و یازدهم می‌باشد. گزینهدو به‌عنوان یک مؤسسه پیشرو در زمینه خدمات نوین آموزشی، نرم‌افزارهای گوناگونی را جهت بهبود فرآیند آموزش و سنجش برای دانش‌آموزان و مدارس ارائه می‌کند.
