در این فیلم آموزشی با موضوع مجموعه های متناهی و نامتناهی و نکات آن آشنا خواهید شد.
مجموعه متناهی و نامتناهی چیست؟
مجموعه های متناهی و نامتناهی: مجموعه ای که تعداد اعضای آن یک عدد حسابی است، “مجموعه متناهی” می نامیم. در غیر این صورت به آن مجموعه نامتناهی گفته خواهد شد.
مثال) مجموعه اعداد طبیعی کمتر از 4 مجموعه ای متناهی است. زیرا اعضای این مجموعه برابر با {3 ,2 ,1} می باشد. تعداد اعضای آن محدود بوده و بنابراین مجموعه متناهی خواهد بود.
مثال) مجموعه اعداد صحیح کمتر از 4 مجموعه ای نامتناهی است. زیرا تعداد اعضای آن نا محدود می باشد.
مجموعه متناهی مجموعه ای است که تعداد اعضای آن یک عدد حسابی باشد.
نمونه تست مجموعه های متناهی و نامتناهی
در این بخش به منظور فهم بهتر موضوع به حل تست خواهیم پرداخت.
تست اول) چند تا از مجموعه های زیر متناهی است؟
الف) مجموعه اعداد طبیعی فرد
ب) مجموعه ی تمام دایره های به مرکز مبدا مختصات
پ) مجموعه اعداد طبیعی 10 رقمی
ت) بازه [0,2]
1- 1
2- 2
3- 3
4- 4
گزینه 1 پاسخ صحیح می باشد.
تعداد اعضای گزینه الف نامحدود است. بنابراین مجموعه نامتناهی خواهد بود. در گزینه ب به مرکز مبدا مختصات با شعاع های مختلف می توان دایره های متفاوتی رسم کرد. بنابراین مجموعه گزینه ب نیز نا متناهی می باشد. تعداد اعضای گزینه پ بسیار زیاد است ولی قابل شمارش بوده و مجموعه متناهی خواهد بود. تعداد اعضای گزینه ت نیز بی نهایت بوده و مجموعه نامتناهی می باشد. بنابراین تنها یکی از مجموعه ها متناهی است.
به نمونه تست دوم توجه فرمایید:
تست دوم) اگر A و B دو مجموعه نامتناهی باشند به طوری که A⊆B و B-A تک عضوی است. کدام یک از موارد زیر می توانند مجموعه های A و B باشند؟
1- A={1,2,3} و B={1,2,3,4}
2- A=N و B=W
3- A=[0,1) و B=(0,1]
4- A=(0,2) و B=[0,2]
گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.
در گزینه 1 هر دو مجموعه A و B متناهی هستند بنابراین غلط می باشد. در گزینه 2 هر دو مجموعه اعداد طبیعی و حسابی نامتناهی هستند. همچنین مجموعه اعداد طبیعی زیر مجموعه اعداد حسابی می باشد. مجموعه B-A یک مجموعه تک عضوی است. چون تنها عضو آن {0} خواهد بود. بنابراین گزینه 2 صحیح است.
به نمونه تست سوم توجه فرمایید:
تست سوم) کدام یک از موارد زیر درست است؟
1- مجموعه اعداد گویای موجود در بازه (0,1) مجموعه ای متناهی است.
2- اگر مجموعه A یک زیر مجموعه نامتناهی داشته باشد، آن گاه A یک مجموعه نامتناهی است.
3- اگر A مجموعه ای نامتناهی باشد همه ی زیر مجموعه های ناتهی آن نامتناهی هستند.
4- اگر A⊆B و B مجموعه ای متناهی باشد آن گاه A نامتناهی است.
گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.
در گزینه 1 بین دو عدد 0 و 1 بی نهایت عدد گویا وجود دارد. لذا گزینه 1 غلط بوده و این مجموعه نامتناهی است. گزینه 2 درست می باشد. زیرا هنگامی که مجموعه A دارای یک زیر مجموعه نامتناهی است، قطعا خودش نامتناهی می باشد. گزینه 3 غلط است. زیرا یک مجموعه نامتناهی دارای زیر مجموعه های متناهی نیز می تواند باشد. گزینه 4 نیز غلط است. به این علت که یک مجموعه نامتناهی نمی تواند زیر مجموعه یک مجموعه متناهی باشد.
برای آشنایی بیشتر با موضوع مجموعه های متناهی، نامتناهی و نمونه سوالات آن می توانید ویدئو آموزشی را مشاهده کنید.
سوالات متداول
اگر تعداد اعضای یک مجموعه، عددی محدود باشد، آن مجموعه متناهی می باشد. در واقع به مجموعه ای که تعداد اعضای آن یک عدد حسابی است، مجموعه متناهی گفته خواهد شد.
مجموعه اعداد طبیعی یک مجموعه نامتناهی است. زیرا تعداد اعضای مجموعه اعداد طبیعی قابل شمارش نبوده و بی نهایت می باشد.
مجموعه اعداد طبیعی کمتر از 4 یک مجموعه متناهی است. زیرا این مجموعه دارای 3 عضو 1، 2 و 3 بوده و تعداد اعضای آن متناهی می باشد.
