واسطه هندسی، قانون اندیس ها در دنباله هندسی

در این فیلم آموزشی با موضوع واسطه هندسی و قانون اندیس ها در دنباله هندسی آشنا خواهید شد.

پخش ویدئو

واسطه هندسی چیست؟

واسطه هندسی: اگر a، b و c سه جمله متوالی یک دنباله هندسی باشند، به b واسطه هندسی بین a و c می گویند و داریم:

b²=ac

ac باید حتما مثبت باشد.

مثال) اگر 3x، 3x+12 و 54، سه جمله متوالی یک دنباله هندسی باشند، x را بیابید؟

به توجه به رابطه واسطه هندسی داریم:

واسطه هندسی در دنباله هندسی تعریف می شود.

نمونه تست واسطه هندسی

به نمونه تست اول دقت کنید:

تست اول) اگر 2^a، 4√2 و 2^b سه جمله متوالی از یک دنباله هندسی باشند، واسطه عددی بین a و b کدام است؟

1- 2√
2- 1.5
3- 2
4- 2.5

گزینه 4 پاسخ صحیح می باشد.
با توجه به فرمول واسطه هندسی داریم:

واسطه عددی همان واسطه حسابی است که برابر با میانگین دو عدد مذکور است. بنابراین داریم:

نکته: اگر a، b و c هم سه جمله متوالی یک دنباله هندسی باشند و هم سه جمله متوالی یک دنباله حسابی، در این صورت a=b=c می باشد. در این حالت قدرنسبت دنباله حسابی برابر با صفر و قدرنسبت دنباله هندسی برابر با 1 خواهد بود.

تست دوم) اگر اعداد 3x-1، 3x+2 و 6x+5، جملات متوالی یک دنباله حسابی باشند، با اضافه کردن چه عددی به هر یک از آن ها، یک دنباله هندسی به دست می آید؟

1- 1

1- 2

3- هر عدد حقیقی

4- هیچ عدد حقیقی

گزینه 4 پاسخ صحیح می باشد.

با توجه به نکته واسطه حسابی، ابتدا مقدار x را به صورت زیر به دست می آوریم:

بنابراین دنباله حسابی مورد نظر به صورت زیر خواهد بود:

5,2,-1

فرض کنیم عددی که می خواهیم به جملات اضافه کنیم تا تشکیل دنباله هندسی دهند برابر با x باشد. پس داریم:

5+x,2+x,-1+x

این اعداد در صورتی تشکیل دنباله هندسی نیز می دهند که با هم برابر باشند. دو عبارت 5+x و 2+x هیچ گاه با یکدیگر برابر نخواهند شد. لذا هیچ عدد حقیقی بدین منظور وجود ندارد.

قانون اندیس ها: در هر دنباله هندسی داریم: