در این فیلم آموزشی به موضوع پیوستگی، پیوستگی راست و چپ خواهیم پرداخت.
پیوستگی در نقطه
پیوستگی در نقطه: تابع f در x = a پیوسته است هر گاه:
- F در a تعریف شده باشد یعنی f(a) موجود باشد.
- limf(x) x→a موجود باشد و limf(x)=f(a) x→a
حال برای فهم بیشتر موضوع به حل چند نمونه مثال می پردازیم.
مثال: پیوستگی هر یک از توابع داده شده را در نقطه مورد نظر بررسی کنید؟
ابتدا f (2) را پیدا می کنیم.
بنابراین مقدار تابع در نقطه x=2 برابر صفر است. در ادامه حد راست و چپ را محاسبه می کنیم.
لذا از دو رابطه بالا می توان فهمید، حد عبارت داده شده برابر صفر است. همچنین f(2)=0 شد. بنابراین می توان نتیجه گرفت، تابع f در نقطه x = 2 پیوسته است.
در این قسمت به حل مثال دیگری می پردازیم:
مثال: پیوستگی هر یک از توابع داده شده را در نقطه مورد نظر بررسی کنید؟
ابتدا مقدار تابع را در نقطه x = 4 بررسی می کنیم.
f(4) = [16]-[2]=14
حال حد تابع را در نقطه x = 4 پیدا خواهیم کرد.
از دو رابطه بالا، می توان نتیجه گرفت limf(x)=14 x→4 موجود و برابر 14 است. همچنین مقدار f ( 4) برابر با 14 به دست آمد. بنابراین تابع در نقطه x = 4 پیوسته است.
تابع در یک نقطه پیوسته است، هرگاه تابع در آن نقطه تعریف شده باشد و حد تابع در آن نقطه با مقدار تابع برابر باشد.
پیوستگی یک طرفه (پیوستگی چپ و راست)
در این بخش به موضوع پیوستگی یک طرفه یعنی پیوستگی چپ و راست خواهیم پرداخت.
پیوستگی چپ: می گوییم f در a از چپ پیوسته است ( پیوستگی چپ دارد) هر گاه :
در واقع f در a از چپ پیوسته است، هر گاه حد چپ با مقدار برابر باشد. به همین ترتیب پیوستگی راست تعریف می شود.
f در همسایگی a تعریف شده باشد، f در a پیوسته است اگر و تنها اگر هم پیوستگی چپ باشد و هم پیوستگی راست.
تست) اگر تابع f(x) که به صورت زیر است، در x=Π/2 پیوسته باشد، a کدام است؟
- 1
- 1-
- 1/2
- صفر
گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.
با توجه به صورت سوال مقدار تابع در نقطه x=Π/2 برابر با a است. یعنی f(π/2)=a .
حال باید حد تابع را بیابیم.
در رابطه بالا، چون sin2x برابر با sin(π-2x) است. به جای sin2x ، عبارت sin(π-2x) را قرار دادیم.
حد تابع در x=π/2 برابر با -1 و مقدار تابع در این نقطه برابر با a به دست آمد. چون تابع در x=Π/2 پیوسته است، بنابراین a باید برابر با -1 باشد. لذا گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.
به منظور یادگیری بیشتر موضوع پیوستگی، پیوستگی راست و چپ می توانید ویدئو آموزشی را مشاهده کنید.
سوالات متداول
می گوییم f در a از راست پیوسته است هرگاه، حد راست با مقدار تابع برابر باشد..
f در a پیوسته است هر گاه هم پیوستگی راست و هم پیوستگی چپ داشته باشد. یا به عبارت دیگری f در a پیوسته است، هر گاه دو شرط زیر برای آن برقرار باشد.
- تابع در نقطه مورد نظر یعنی a حد داشته باشد.
- حد آن با مقدار تابع در نقطه مذکور برابر باشد.
خیر در نقطه مورد نظر نمی تواند پیوسته باشد. یکی از شروط برای اینکه تابع در نقطه ای پیوسته باشد، این است که تابع در نقطه مورد نظر حد داشته باشد و شرط دوم این است که مقدار حد آن با مقدار تابع در آن نقطه مساوی باشد.
