در این فیلم آموزشی با نکاتی از قوانین گزاره ها، جبر گزاره ها، گزاره های مرکب، تعریف ریاضی ترکیب دو شرطی،گزاره های همیشه درست و معروف، گزاره های همیشه نادرست و معروف، تعریف ریاضی ترکیب شرطی و نقیض آن، نقیض ترکیب دو شرطی، عکس نقیض ترکیب شرطی آشنا خواهید شد.
تعریف ریاضی ترکیب دو شرطی به صورت زیر می باشد:
p ⇔ q ≡ (Ρ ⇒ q) ∧ (q ⇒ Ρ) ≡ ∼ Ρ ⇔ ∼ q
تست اول) کدام گزینه نادرست است؟
- x – 1 = 0 ⇔ (x – 1)2 = 0
- a x = b x ⇔ q = b
- x2 + 1) a = (x2 + 1) b ⇔ a = b)
- a b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.
در گزینه 1 هر دو طرف ترکیب دو شرطی درست است بنابراین گزینه 1 صحیح می باشد. در گزینه x = 0,2 به عنوان مثال نقض می باشد. چون اگر x برابر با صفر باشد، آن گاه a و b با یکدیگر لزوما مساوی نمی باشند و هر عددی می توانند باشند.
در گزینه 3، (x2 + 1) عدد مثبت است و می تواند از طرفین ساده شود. بنابراین صحیح خواهد بود. در گزینه 4 هنگامی که حاصل ضرب دو عدد مساوی با صفر است، حداقل یکی از آن ها صفر می باشد.
قوانین دمورگان:
∼ (Ρ ∨ q) = ∼ p ∧ ∼ q ∼ (Ρ∧ q) = ∼ Ρ ∨ q
در قوانین دمورگان، هنگامی که نقیض روی ترکیب عطفی یا فصلی اثر می کند، ترکیب عطفی را به فصلی و ترکیب فصلی را به عطفی تبدیل خواهد کرد و هر دو گزاره نقیض می شوند.
تست دوم) گزاره چنین نیست که ” در مستطیل قطرها برابر نیست یا عدد 4 مربع کامل است” معادل است با:
- در مستطیل قطرها برابر است یا 4 مربع کامل نیست.
- در مستطیل قطرها برابر است یا 4 مربع کامل نیست.
- در مستطیل قطرها برابر است یا 4 مربع کامل نیست.
- در مستطیل قطرها برابر است یا 4 مربع کامل نیست.
گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.
در صورت سوال گفته شده ” چنین نیست”، بنابراین منظور نقیض است. با توجه به قانون دمورگان “یا” به “و” تبدیل خواهد شد و هر کدام از گزاره ها نقیض می شوند. یعنی نقیض گزاره مذکور برابر با ” در مستطیل قطرها برابر است و 4 مربع کامل نیست.” می باشد.
تست سوم) اگر داشته باشیم” 10√ عدد گنگ است : p” و ” 25 مضرب 3 نیست : q” گزاره (Ρ ∧ Q) ∼ به کدام صورت است؟
- 10√ عددی گنگ نیست و 25 مضرب 3 است.
- 10√ عددی گنگ نیست و 25 مضرب 3 نیست.
- 10√ گویا است یا 25 مضرب 3 است.
- 10√ گویا است و 25 مضرب 3 نیست
گزینه 3 پاسخ صحیح می باشد.
بر اساس قانون دمورگان، p ∧ q) = ∼ p ∨ ∼ q)، می باشد. بنابراین جواب سوال مساوی با” 10√ عددی گنگ نیست یا 25 مضرب 3 است.” خواهد شد. این عبارت معادل با” 10√ گویا است یا 25 مضرب 3 است.” می باشد.
گزار های زیر، گزاره های معروفی هستند که همیشه درست هستند.
- Ρ ⇒ Ρ ∨ q و q ⇒ Ρ ∨ q
- Ρ ∧ q ⇒ Ρ و Ρ ∧ q ⇒ q
- Ρ ⇒ Ρ
- Ρ ∨ ∼ Ρ
گزاره زیر، جز گزاره های معروف است که همواره نادرست می باشد.
Ρ ∧∼ Ρ
تعریف ریاضی ترکیب شرطی و نقیض آن به صورت زیر خواهد بود:
Ρ ⇒ q ≡ ∼ Ρ ∨ q
Ρ ⇒ q) ≡ Ρ ∧ ∼ q) ∼
نقیض ترکیب دو شرطی به صورت زیر است:
Ρ ⇔ q) ≡ ∼ Ρ ⇔ q ≡ Ρ ⇔∼ q) ∼
عکس نقیض ترکیب شرطی:
q ⇒ ∼ Ρ ≡ Ρ ⇒ q ∼
عکس نقیض ترکیب شرطی با خود ترکیب شرطی هم ارز است.
در اثبات برخی احکام ریاضی برای سهولت در اثبات، به جای خود گزاره شرطی، عکس نقیض آن را ثابت می کنیم.
مثال) برای اثبات حکم ” اگر a ∈ Z و a2 زوج باشد، آن گاه a نیز زوج است” ثابت می کنیم:
“اگر زوج نباشد آن گاه a2 زوج نیست” یعنی ” اگر فرد باشد،a2 نیز فرد است”
فرد a = 2k + 1 ⇒ a2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1= 2 (2k2 + 2k) + 1 = 2q + 1 فرد
در واقع در اثبات از عکس نقیض استفاده کردیم.
تعریف ریاضی ترکیب شرطی و نقیض آن به شکل زیر می باشد:
Ρ ⇒ q ≡ ∼ p ∨ q
p ⇒ q) ≡ p ∧∼ q) ∼
تعریف ریاضی ترکیب دو شرطی به شکل زیر خواهد بود:
p ⇔ q≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ≡ ∼ p ⇔ ∼ q
عکس نقیض ترکیب شرطی به صورت زیر می باشد:
q ⇒ ∼ p ≡ p ⇒ q ∼
در واقع عکس نقیض ترکیب شرطی با خود ترکیب شرطی هم ارز خواهد بود.
دست شما درد نکنه بابت این مقاله
خیلی دنبال نقیض قضیه دو شرطی میگشتم که خداروشکر پیداش کردم.
با سلام
امیدواریم که توانسته باشیم به شما در یادگیری بهتر این درس کمک کرده باشیم.
یه سوال
در گزاره : چنین نیست که در مستطیل قطر ها برابر نیست ( یعنی در مستطیل قطرها برابر است )
پس نقیض اش میشه در مستطیل ها قطر ها برابر نیست
قوانين دمورگان ؛ تست شماره اول
میشه گزینه سه
سلام
سپاس از توجه شما