در این فیلم آموزشی با قضیه زیر مجموعه ها در جبر گزاره ها آشنا خواهید شد.
قضیه دو شرطی در جبر گزاره ها
قضیه: برای هر دو مجموعه دلخواه A و B از مجموعه مرجع U داریم:
تست اول) اگر A∪(B-A)=B، آن گاه کدام گزینه درست است؟
الف) A ⊆B
ب) 𝐵 ⊆𝐴
ج) 𝐴= ∅
د) 𝐵= ∅
گزینه الف پاسخ صحیح می باشد.
این مسئله را با نمودار ون به صورت زیر حل خواهیم کرد:
در تصویر بالا مجموعه A زرد رنگ شده است و B-A سفید رنگ است. بنابراین A ∪(B-A) طبق نمودار ون برابر با A ∪B خواهد بود. یعنی داریم:
A ∪(B-A)=A ∪B=B
لذا طبق رابطه بالا، A ⊆B می باشد.
به نمونه تست زیر توجه کنید:
تست دوم) اگر A ⊆B آن گاه مجموعه ( A ́ ∩B)∪(A ∩ B ́ )∪(A ∩B) برابر کدام گزینه است؟
الف) A
ب) B
ج) ‘A
د) ‘B
گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.
( A ́ ∩B)را به صورت زیر می توان نوشت.
( A ́∩B)= (B ∩ A ́)=(B-A)
(A’ ∩ B) را نیز می توان به شکل زیر نوشت:
(A ∩ B ́ )=A-B
بنابراین عبارت بالا به شکل زیر خواهد بود:
( B-A)∪(A-B)∪(A ∩B)
حال با توجه به نمودار ون داریم:
در نمودار ون، (A-B) با هاشور نارنجی رنگ، (B-A) با دایره های توپر مشکی و (A ∩B) با مثلث های زرد رنگ مشخص شده اند. با توجه به نمودار ون حاصل عبارت (B-A)∪(A-B)∪(A ∩B) برابر با A ∪B می باشد. با توجه به اینکه A ⊆B است، حاصل A ∪B مساوی با B خواهد شد.
قضایای مجموعه ها به منظور ساده کردن عبارات به کار گرفته خواهد شد.
قضیه زیر مجموعه
نکته: برای هر دو مجموعه دلخواه A و B از مجموعه مرجع U داریم:
A ⊆B ⟺ B ́ ⊆ A ́
تست) اگر ‘B ́ ⊆ A آن گاه مجموعه ( A-B)∪(B-A)∪(A ∩B) برابر کدام گزینه است؟
الف) A
ب) B
ج) ‘A
د) ‘B
گزینه ب پاسخ صحیح می باشد.
با توجه به اینکه ‘B ́ ⊆ A آن گاه A ⊆B خواهد بود. با توجه به تست قبلی، حاصل ( A-B)∪(B-A)∪(A ∩B) برابر با A ∪B می باشد و چون A ⊆B است، حاصل A ∪B مساوی با B خواهد بود.
به تست بعدی دقت کنید:
تست چهارم) اگر ‘B ́ ⊆ A آن گاه مجموعه (A ∩(B-C))-(A ∩B ∩C) برابر کدام گزینه است؟
الف) A-C
ب) A ∩C
ج) A
د) B
گزینه الف پاسخ صحیح می باشد.
اگر ‘B ́ ⊆ A باشد آن گاه A ⊆B است. عبارت (A ∩B ∩C)-(A ∩(B-C))، را به صورت زیر ساده خواهیم کرد:
(A ∩(B-C))-(A ∩B ∩C)= (A ∩B ∩ C ́ )-(A ∩B ∩C)
چون A ⊆B است، حاصل A ∩B برابر با A خواهد بود. بنابراین داریم:
(A ∩B ∩ C ́ )-(A ∩B ∩C)=( A ∩ C ́ )-(A ∩C)= A ∩( C ́-C)
به منظور یادگیری بیشتر قضایای زیر مجموعه ها و نکات آن فیلم آموزشی را مشاهده کنید.
سوالات متداول
فرض کنید A و B دو مجموعه دلخواه از مجموعه مرجع U باشد و مجموعه A زیر مجموعه B باشد، آن گاه برای اجتماع آن ها رابطه زیر را داریم:
A ⊆B ⟺ A ∪B=B
فرض کنید A و B دو مجموعه دلخواه از مجموعه مرجع U باشد و مجموعه A زیر مجموعه B باشد، آن گاه برای اشتراک آن ها رابطه زیر را خواهیم داشت:
A ⊆B ⟺ A ∩B=A
فرض کنید A و B دو مجموعه دلخواه از مجموعه مرجع U باشند و مجموعه A زیر مجموعه B باشد ، آن گاه داریم:
‘A⊆B ⟺ B ́⊆ A
