در این فیلم آموزشی به موضوع تشکیل معادله درجه دوم با در اختیار داشتن ریشه ها پرداخته خواهد شد.
تشکیل معادله درجه دوم با در اختیار داشتن ریشه ها
اگر α و β ریشه های معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 باشد. این معادله را به صورت های زیر می توان نوشت:
به نمونه مثال زیر توجه کنید:
مثال: معادله درجه دومی که ریشه های آن 2- و 5 باشد را بنویسید؟
این معادله را به دو صورت زیر می توان نوشت:
1- a(x-5)(x+2)=0
2- x2-3x-10=0 S=3 و P=-10
معادله درجه دوم، را می توان با در اختیار داشتن حاصل ضرب و جمع ریشه ها نوشت.
نمونه تست تشکیل معادله درجه دوم با استفاده از ریشه ها
در این بخش به منظور فهم بهتر موضوع تشکیل معادله درجه دوم با استفاده از ریشه ها به تست های زیر توجه کنید.
تست) معادله درجه دومی که ریشه های آن یک واحد از ریشه های معادله x2-5x+1=0 ، بیشتر است کدام است؟
- x2+7x+7=0
- x2-7x+6=0
- x2-6x+6=0
- x2-7x+7=0
گزینه 4 پاسخ صحیح می باشد.
فرض کنید x1 و x2 ریشه های معادله x2-5x+1=0 باشد. ریشه های معادله ای که می خواهیم برابر با x1+1 و x2+1 خواهد بود. حال S و P را تشکیل می دهیم.
S=x1+1+x2+1=x1+x2+2
P=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1
حاصل جمع x1+x2 برابر با 5 و حاصل ضرب این دو ریشه مساوی با 1 می باشد. این مقادیر را در روابط بالا جایگزین نموده و سپس معادله را خواهیم نوشت.
S=x1+1+x2+1=x1+x2+2=7
P=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=1+5+1=7
x2-Sx+P=0 x2-7x+7=0
بنابراین معادله خط به صورت x2-7x+7=0 به دست آمد. لذا گزینه 4 صحیح است.
به نمونه تست دوم توجه کنید:
تست) معادله درجه دوم که ریشه های آن مکعب ریشه های معادله x2-x-1=0 باشد، کدام است؟
- x2+x-1=0
- x2-2x-1=0
- x2-3x-1=0
- x2-4x-1=0
گزینه 4 پاسخ صحیح می باشد.
فرض کنید x1 و x2 ریشه های معادله x2-x-1=0 باشد. مقدار S در این معادله 1 و P برابر 1- است. ریشه های معادله ای که می خواهیم برابر با x13 و x23 خواهد بود. حال S و P را تشکیل می دهیم.
S=x13+x23=S3-3PS=1-3(-1)=4
P=x13x23=(-1)3=-1
در این بخش با داشتن S و P، معادله را به صورت زیر خواهیم نوشت.
X2-Sx+P=0 x2-4x-1=0
بنابراین گزینه 4 پاسخ درست است.
به منظور آشنایی بیشتر با موضوع نوشتن معادله درجه دوم با استفاده از حاصل جمع و ضرب ریشه ها می توانید فیلم آموزشی را مشاهده کنید.
سوالات متداول
مجموع مکعبات ریشه ها در معادله درجه دوم به فرم ، ax2 + b x + c = 0 برابر با تفاضل سه برابر S در P از توان سوم S می باشد. P برابر با حاصل ضرب ریشه ها و S برابر با مجموع ریشه ها است.
اگر بدانیم Sو P به ترتیب برابر با مجموع و حاصل ضرب ریشه های معادله درجه دوم به صورت ax2+b x+c=0 است، این معادله را به شکل زیر می توان نوشت.
x2– S x+P=0
