در این فیلم آموزشی با موضوع مجموعه مرجع، متمم یک مجموعه و ویژگی های متمم شامل قانون دمورگان آشنا خواهید شد.
مجموعه مرجع چیست؟
مجموعه مرجع: در هر مبحث، مجموعه ای را که همه ی مجموعه های مورد بحث، زیر مجموعه آن باشند، مجموعه مرجع می نامیم و آن را با U نشان می دهیم.
متمم یک مجموعه چیست؟
متمم یک مجموعه: هرگاه U مجموعه مرجع باشد و A⊆U، آن گاه مجموعه U-A را “متمم A” می نامیم و آن را با نماد ‘A نشان می دهیم.
مثال 1) اگر A={x∈R | x>2} (مجموعه اعداد حقیقی بزرگتر از 2) در این صورت داریم:
A’={x∈R│x≤2} مجموعه متمم
مثال 2) اگر A={x∈N | 1<x≤5} در این صورت داریم:
A’={x∈N│x≤1 یا x>5} مجموعه متمم
متمم یک مجموعه دارای ویژگی های زیر خواهد بود:
1) ∅’=U , U’=∅
متمم مجموعه تهی برابر با مجموعه مرجع و متمم مجموعه مرجع برابر با مجموعه تهی خواهد بود.
2)A∪A’=U, A∩A’=∅
اجتماع هر مجموعه با متمم خود برابر با مجموعه مرجع و اشتراک هر مجموعه با متممش برابر با مجموعه تهی می باشد.
3) A⊆B ⟺ B’⊆A’
اگر از طرفین رابطه زیر مجموعه، متمم بگیریم جای مجموعه ها با یکدیگر تغییر خواهد کرد.
4) (A∪B)’=A’∩B’ , (A∩B)’=A’∪B’
به قانون بالا، قانون دمورگان گفته خواهد شد.
متمم یک مجموعه مجموعه ای است که شامل هیچ یک از اعضای مجموعه اصلی نباشد.
نمونه تست متمم یک مجموعه و ویژگی های آن
در این بخش به بررسی چند نمونه تست خواهیم پرداخت.
تست اول) چند تا از موارد زیر درست است؟
الف) مجموعه ای نامتناهی مثل A وجود دارد که ‘A هم نامتناهی است.
ب) مجموعه ای نامتناهی مثل B وجود دارد که ‘B متناهی باشد.
پ) اگر ‘A⊆B در این صورت ‘B⊆A
1- یک
2- دو
3- سه
4- صفر
گزینه 3 پاسخ صحیح می باشد.
مورد الف و ب کاملا صحیح است. زیرا متناهی یا نامتناهی بودن متمم بستگی به مجموعه مرجع دارد. مورد پ نیز کاملا درست است. زیرا در رابطه زیر مجموعه، جای دو مجموعه عوض شده است و متمم شده اند که کاملا صحیح است.
به نمونه تست دوم توجه فرمایید:
تست دوم) اگر A و B دو زیر مجموعه از اعداد صحیح باشند به طوری که A متناهی و B نامتناهی باشد، کدام مجموعه به طور حتم، نامتناهی است؟
1- A’∩B
2- ‘A’∩B
3- ‘A∩B
4- ‘A∪B
گزینه 1 پاسخ صحیح می باشد.
در گزینه 1، رابطه زیر را داریم:
A’∩B=B∩A’=B-A
مجموعه B نامتناهی و A متناهی است. تفاضل یک مجموعه متناهی از یک مجموعه نامتناهی، قطعا نامتناهی خواهد بود. لذا گزینه 1 درست است.
نکته 1: اجتماع یک مجموعه متناهی و نامتناهی، حتما مجموعه ای نامتناهی خواهد بود.
نکته 2: متمم یک مجموعه نامتناهی، هم می تواند مجموعه ای متناهی و هم نامتناهی باشد.
برای آشنایی بیشتر با موضوع مجموعه مرجع، متمم یک مجموعه و نمونه تست های آن می توانید ویدئو آموزشی را مشاهده کنید.
سوالات متداول
اگر متمم روی اجتماع مجموعه ها اثر کند، اجتماع تبدیل به اشتراک خواهد شد و متمم روی تمام اجزا وارد می شود. اگر متمم روی اشتراک مجموعه ها اثر کند، اشتراک تبدیل به اجتماع خواهد شد و اشتراک روی تمام مجموعه ها وارد می شود.
به مجموعه ای که همه ی مجموعه های مورد بحث، زیر مجموعه آن باشند، مجموعه مرجع گفته خواهد شد. مجموعه مرجع را با U نشان خواهیم داد.
اجتماع هر مجموعه با متممش برابر با مجموعه مرجع و اشتراک هر مجموعه با متمم خود برابر با مجموعه تهی خواهد بود.
