در این فیلم آموزشی به موضوع مجموعه ها، زیر مجموعه ها، عضویت و تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه n عضوی پرداخته شده است.
مجموعه ها و زیر مجموعه ها
در این قسمت به معرفی مجموعه و زیر مجموعه می پردازیم.
تعلق ( عضویت) : می گوییم a متعلق به مجموعه A است و می نویسیم a ϵ A هرگاه a عضوی از مجموعه A باشد. اگر a عضو مجموعه A نباشد، می نویسیم a ∉A.
مثال) در مجموعه {∅.{∅}.{∅.{∅}}}=A داریم:
∅ϵ A . {{∅}} ∉A
زیر مجموعه بودن: می گوییم مجموعه A زیر مجموعه B است و می نویسیم A ⊆B، هرگاه هر عضو مجموعه A در مجموعه B وجود داشته باشد. در واقع برای زیر مجموعه رابطه زیر را داریم:
A ⊆B ⟺ ∀ x ϵ A ⟹x ϵ B
اگر حداقل یک عضو از مجموعه A در مجموعه B موجود نباشد، می گوییم A زیر مجموعه B نیست و می نویسیم : A ⊈B برای زیر مجموعه نبودن رابطه زیر برقرار است:
A ⊈B ⟺ ∃ x ϵ A .x ∉B
مثال ) در مجموعه {∅ .{∅}.{∅.{∅}}}=A داریم:
∅ ⊆A , {∅,{∅}} ⊆A ,{{∅}}⊆A, {{∅},{{∅}}}⊈A
هرگاه هر عضو مجموعه A در مجموعه B وجود داشته باشد، گفته می شود مجموعه A زیر مجموعه B است.
نمونه تست مجموعه و زیر مجموعه
به نمونه تست اول دقت کنید:
تست اول) اگر A={a,{a},{a,{a}},{a,b},{b}} باشد، کدام رابطه نادرست است؟
الف) {a.{a}} ∈A
ب) {a.{a}} ⊆ A
ج){a,b}∈A
د) {a.b} ⊆ A
گزینه د پاسخ صحیح می باشد.
گزینه الف درست است. گزینه ب و ج نیز صحیح است. برای بررسی زیر مجموعه بودن، آکولاد را برمی داریم، اگر اعضای به دست آمده عضو مجموعه باشند، آن گاه مجموعه مورد نظر، زیر مجموعه ی مجموعه اصلی خواهد بود. در گزینه 4، اگر آکولاد را برداریم، a.b عضو مجموعه A نمی باشند، لذا {a.b}، زیر مجموعه A نخواهد بود.
برای آشنایی بیشتر با موضوع مجموعه ها و زیر مجموعه ها ویدئو آموزشی را مشاهده کنید.
سوالات متداول
فرض کنید A و B دو مجموعه باشند، آنگاه مجموعه A زیر مجموعه B است، هرگاه هر عضو مجموعه A در مجموعه B وجود داشته باشد و به صورت A ⊆B نوشته می شود. برای زیر مجموعه بودن رابطه زیر را خواهیم داشت:
A ⊆B ⟺ ∀ x ϵ A ⟹x ϵ B
در صورتی که حداقل یک عضو از مجموعه A در مجموعه B وجود نداشته باشد، گفته می شود A زیر مجموعه B نیست و به شکل A ⊈B نوشته خواهد شد. در واقع برای زیر مجموعه نبودن رابطه زیر را داریم:
A ⊈B ⟺ ∃ x ϵ A .x ∉B
بدین منظور باید تمام زیر مجموعه های صفر، یک، دو، … و n عضوی را با یکدیگر جمع کنیم. در واقع هر مجموعه n عضوی دارای 2 به توان n زیر مجموعه می باشد.
گفته می شود a متعلق به مجموعه A است، هرگاه a عضوی از مجموعه A باشد و به صورت a ϵ A نمایش داده می شود.
