در این فیلم آموزشی با قوانین و قضایای احتمال همراه با نمونه تست های آن آشنا خواهید شد.
قوانین و قضایای مهم احتمال
قوانین و قضایای مهم احتمال به شکل زیر می باشد:
احتمال هر پیشامدی بین صفر و یک قرار دارد.
P(∅)=0 , P(S)=1: به این پیشامدهای، پیشامدهای حتمی و غیر ممکن گفته می شود. احتمال فضای نمونه ای برابر با یک و احتمال تهی مساوی با صفر خواهد بود.
P(A’) = 1- P(A): احتمال متمم یک پیشامد برابر با تفاضل یک از احتمال آن پیشامد است.
P(A∪B)=P(A) + P(B) – P(A∩B): احتمال اجتماع دو پیشامد
P(A∪B) = P(A) + P(B) پیشامد A و B دو پیشامد ناسازگارند.
P(A-B) = P(A) – P(A ∩B): احتمال تفاضل دو پیشامد
P(A’∩B’) = 1 – P(A∪B) = 1-P(A) – P(B) + P(A∩B) : احتمال اشتراک متمم دو پیشامد. یعنی نه A نه B رخ دهد.
B ⊆ A ⇔ { (P(B) ≤ P(A) , P(A-B)= P(A) – P(B)}
احتمال هر پیشامدی بین دو عدد صفر و یک قرار خواهد داشت. .
نمونه تست قوانین و قضایای احتمال
حال برای فهم بیشتر موضوع به حل چند نمونه تست می پردازیم.
تست اول) اگر A و B دو پیشامد ناسازگار باشند و P(A)= 0.3 و P(B)= 0.4، آن گاه P(A’∩B’) کدام است؟
1- 0.7
2- 0.3
3- 0.4
4- 0.12
گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.
چون دو پیشامد A و B ناسازگار هستند، اشتراک آن ها تهی می باشد. یعنی داریم:
A∩B= ∅ P(A∩B)=0
برای به دست آوردن P(A’∩B’) از طریق فرمول به صورت زیر عمل خواهیم کرد:
P(A’∩B’)= 1-P(A)-P(B)+P(A∩B)=1-0.3-0.4=0.3
تست دوم) تعداد مسافرین یک هتل 72 نفر است که 23 نفر آن ها تاجر و 12 نفر آن ها برای اولین بار سفر کرده اند و 8 نفر از این تجار نیز برای اولین بار سفر کرده اند. اگر فردی به تصادف از بین آن ها انتخاب شود، با چه احتمالی نه تاجر است و نه برای اولین بار سفر کرده است؟
1- 4/9
2- 5/9
3- 5/8
4- 3/4
گزینه 3 پاسخ صحیح است.
اگر تعداد تجار را A و تعداد افرادی که برای اولین بار سفر کرده اند را B در نظر بگیریم، طبق صورت سوال A∩B برابر با 8 خواهد بود. صورت سوال P(A’∩B’) را خواسته است. بنابراین داریم:
بنابراین احتمال خواسته شده برابر با 5/8 به دست آمد.
تست سوم) اگر A و B دو پیشامد در فضای نمونه ای S باشند، در کدام حالت P(B-A)=P(B)-P(A) درست است؟
1- همواره
2- A ⊆B
3- B ⊆A
4- ∅=A∩B
گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.
طبق قضیه ای که داشتیم، باید A⊆B باشد تا P(B-A)=P(B)-P(A) باشد.
تست چهارم) اگر P(A)=0.6، P(B)=0.7 و P(A∩B’)=0.2 باشند، آن گاه P(A’∩B) کدام است؟
1- 0.1
2- 0.2
3- 0.4
4- 0.5
گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.
P(A∩B’) را می توان به صورت زیر نوشت:
P(A∩B’)=P(A-B)=0.2 →P(A)-P(A∩B)=0.2 →0.6-P (A∩B)= 0.2→P(A∩B)=0.4
حال می توان P(A’∩B) را به صورت زیر حساب نمود:
P(A’∩B)= P(B ∩A’)=P(B-A)=P(B)-P(A∩B)= 0.7-0.4= 0.3
برای آشنایی بیشتر با اصول اولیه، قوانین و قضایای احتمال می توانید ویدئو آموزشی را مشاهده کنید.
سوالات متداول
به پیشامدهای فضای نمونه ای و تهی، پیشامدهای حتمی و غیر ممکن گفته می شود. در واقع احتمال فضای نمونه ای برابر با یک و احتمال تهی مساوی با صفر می باشد.
احتمال متمم یک پیشامد از طریق تفاضل یک از احتمال آن پیشامد به دست خواهد آمد.
احتمال هر پیشامدی بین دو عدد صفر و یک قرار خواهد داشت.
