در این فیلم آموزشی با موضوع واسطه حسابی و قانون اندیس ها در دنباله حسابی آشنا خواهید شد.
واسطه حسابی چیست؟
نکته: در هر دنباله حسابی، جمله عمومی نسبت به n، حداکثر درجه 1 است. یعنی دنباله حسابی از یک الگوی خطی پیروی می کند.
به نمونه تست های زیر دقت کنید:
تست اول) کدامیک از موارد زیر می تواند جمله عمومی یک دنباله حسابی باشد؟
1- an=2n+n
2- an=5n+1
3- an=n2-n+1
4- an=n2+√n
گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.
جمله عمومی دنباله حسابی، نسبت به n حداکثر درجه 1 است. بنابراین تنها گزینه 2 می تواند به عنوان جمله عمومی یک دنباله حسابی باشد.
به تست دوم توجه کنید:
تست دوم) اگر جمله عمومی یک دنباله حسابی به صورت an=(b-1)n2+2bn+b2-5، باشد، جمله هفتم این دنباله کدام است؟
1- 1
2- 7
3- 17
4- 18
گزینه 3 پاسخ صحیح می باشد.
با توجه به اینکه دنباله مربوطه، یک دنباله حسابی است، پس حداکثر درجه n باید 1 باشد. لذا ضریب n2 را نیاز است برابر با صفر قرار دهیم. پس داریم:
b-1=0⟹b=1
حال در جمله عمومی دنباله حسابی مقدار b را برابر با 1 قرار خواهیم داد تا فرم کلی جمله عمومی آن به دست آید:
an=3n-4
بنابراین جمله هفتم این دنباله حسابی از طریق رابطه زیر به دست خواهد آمد:
a7=3×7-4=21-4=17
نکته: اگر a، b و c سه جمله متوالی یک دنباله حسابی باشند، b را واسطه حسابی بین a و b می گویند و داریم:
مثال) اگر x+1، 3x-1 و 15x+17، سه جمله متوالی یک دنباله حسابی باشند، مقدار x را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:
دنباله حسابی از یک الگوی خطی پیروی می کند.
قانون اندیس ها در دنباله حسابی
نکته:( قانون اندیس ها) در هر دنباله حسابی داریم:
مثال)در هر دنباله حسابی می توان نوشت:
a7+a17= a2+a22=a12+a12
رابطه بالا را می توان نوشت. زیرا جمع اندیس های طرفین رابطه با یکدیگر برابر است.
به منظور فهم بهتر موضوع به تست زیر توجه فرمایید:
تست ) در یک دنباله حسابی a6+a7+a8=12، حاصل a4+a5+a6+a8+a9+a10 چیست؟
1- 21
2- 24
3- 28
4- 32
گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.
با توجه به اینکه جمع دو اندیس 1 و 8 برابر با 14 است، می توان به جای این دو جمله، از جمع دو جمله a7 استفاده نمود. زیرا جمع اندیس های دو جمله a7 نیز برابر با 14 خواهد شد. بنابراین داریم:
a6+a7+a8=12⟹a7+a7+a7=12⟹3a7=12⟹a7=4
برای محاسبه عبارت خواسته شده در صورت سوال، به جای دو جمله با اندیس 4 و 10 از دو جمله a7، به جای جملات با اندیس 5 و 9 از دو جمله a7 و به جای جملات با اندیس 6 و 8 از دو جمله a7 استفاده خواهیم کرد. بنابراین داریم:
a4+a5+a6+a8+a9+a10⟹a7+a7+a7+a7+a7+a7=6a7=6×4=24
باتوجه به رابطه بالا، حاصل عبارت خواسته شده به دست آمد.
برای آشنایی بیشتر با موضوع واسطه حسابی، قانون اندیس ها در دنباله حسابی و نکات تستی آن می توانید ویدئو آموزشی را مشاهده کنید.
سوالات متداول
جمله عمومی دنباله حسابی نسبت به n، حداکثر دارای درجه 1 می باشد. بنابراین دنباله حسابی از یک الگوی خطی پیروی خواهد کرد.
فرض کنید a، b و c سه جمله متوالی یک دنباله حسابی باشند. به b واسطه حسابی بین a و c گفته خواهد شد و b برابر است با مجموع a و c تقسیم بر 2.
اگر جمع دو اندیس با مجموع دو اندیس دیگر در دنباله حسابی برابر باشد، در آن صورت جمع دو جمله مذکور نیز با آن دو جمله دیگر برابر خواهد بود.
