در این فیلم آموزشی با موضوع پیشامدهای مستقل و ناسازگار آشنا خواهید شد.
پیشامدهای مستقل
تعریف دو پیشامد مستقل: پیشامد A از پیشامد B مستقل است، هر گاه وقوع هر کدام بر وقوع دیگری تاثیر نگذارد. اگر دو پیشامد A و B مستقل از یکدیگر باشند، داریم:
نتیجه: از تساوی های بالا نتیجه می شود که اگر دو پیشامد A و B مستقل از یکدیگر باشند، داریم:
دو پیشامد مستقل، پیشامدهایی هستند که وقوع هر کدام بر وقوع دیگری تاثیر نمی گذارد.
نمونه تست پیشامدهای مستقل
به نمونه تست زیر توجه کنید:
تست اول) دو پیشامد A و B مستقل از یکدیگرند P(A)=2P(B)=1/3. حاصل P(A∪B) کدام است؟
الف) 1/3
ب) 4/9
ج) 5/9
د) 2/3
گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.
با توجه به 2P(B)=1/3 ، مقدار P(B) برابر با 1/6 خواهد شد.
با توجه به فرمول اجتماع، رابطه زیر را خواهیم داشت:
با توجه به اینکه دو پیشامد مستقل هستند، P(A∩B) مساوی با P(A).P(B) خواهد بود.
بنابراین حاصل P(A∪B) برابر با 4/9 به دست آمد.
به نمونه تست دوم توجه کنید:
تست دوم) دو تاس و یک سکه را پرتاب می کنیم احتمال آنکه مجموع اعداد دو تاس بزرگتر از 10 و سکه رو ظاهر شود، چقدر است؟
الف) 1/24
ب) 7/72
ج) 7/12
د) 1/2
گزینه 1 پاسخ صحیح می باشد.
پرتاب دو تاس و سکه، پیشامدهای مستقل هستند. احتمال آنکه مجموع اعداد دو تاس بزرگتر از 10 شود به صورت زیر به دست خواهد آمد:
احتمال رو ظاهر شدن سکه برابر با 1/2 می باشد. لذا احتمال رخداد هر دو اتفاق مساوی با 1/24=1/2×1/12 خواهد شد.
نکته: اگر A و B پیشامدهای مستقل باشند، در این صورت متمم های آن ها نیز با هم مستقل هستند. یعنی:
تست سوم) اگر A و B دو پیشامد مستقل از یکدیگر باشند، حاصل عبارت زیر کدام است؟
الف) 1
ب) 2
ج) 3
د) 4
گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.
چون دو پیشامد A و B مستقل هستند، بنابراین پیشامدهای و نیز مستقل می باشند. لذا روابط زیر را خواهیم داشت.
توجه نمائید دو پیشامد مستقل را با دو پیشامد ناسازگار اشتباه نگیرید.
دو پیشامد ناسازگار، پیشامدهایی هستند که با یکدیگر اشتراکی ندارند و با هم رخ نخواهند داد. ولی مفهوم استقلال با ناسازگاری متفاوت می باشد.
برای آموزش شیوه پاسخ به تست های مربوط به پیشامد مستقل و ناسازگار به ویدئوی آموزشی این جلسه توجه کنید.
سوالات متداول
زمانی به دو پیشامد مستقل گفته می شود که رخ دادن دادن یا ندادن یک رویداد در رخداد یا عدم رخداد دیگری تاثیر نداشته باشد.
فرض کنید A و B دو پیشامد مستقل باشند، در این صورت متمم های این دو پیشامد نیز با هم مستقل خواهند بود.
فرض کنید دو پیشامد A و B مستقل از یکدیگر باشند، در آن صورت احتمال اشتراک آن دو پیشامد برابر با حاصل ضرب احتمال های دو پیشامد خواهد بود.
