جستجو
Close this search box.
آموزش دروس پایه دهم
آموزش دروس پایه یازدهم
آموزش دروس پایه دوازدهم

قضیه دو شرطی زیر مجموعه ها درس 2 فصل اول آمار و احتمالات

قضیه دو شرطی زیر مجموعه ها درس 2 فصل اول آمار و احتمالات
فهرست مطالب
پخش ویدئو

در این فیلم آموزشی با قضیه زیر مجموعه ها در جبر گزاره ها آشنا خواهید شد.

 

 

قضیه: برای هر دو مجموعه دلخواه A و B از مجموعه مرجع U داریم:

A ⊆ B ⇔ {A ∩ B = AA ∪ B ∪ B = B

 


تست اول) اگر A ∪ (B – A) = B، آن گاه کدام گزینه درست است؟

  1. A ⊆ B
  2. B ⊆ A
  3. A = Ø
  4. B = Ø

 

گزینه 1 پاسخ صحیح می باشد.

 

این مسئله را با نمودار ون به صورت زیر حل خواهیم کرد:

نمودار ون7

 

در تصویر بالا مجموعه A زرد رنگ شده است و B – A سفید رنگ است. بنابراین A ∪ (B – A) طبق نمودار ون برابر با A ∪ B خواهد بود. یعنی داریم:

A ∪ (B – A) = A ∪ B = B

لذا طبق رابطه بالا، A ⊆ B می باشد.

 


تست دوم) اگر A ⊆ B آن گاه مجموعه A’ ∩ B) ∪ (A ∩ B’) ∪ (A ∩ B)) برابر کدام گزینه است؟

  1. A
  2. B
  3. ‘A
  4. ‘B

 

گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.

 


(A’ ∩ B) را به صورت زیر می توان نوشت.

A’ ∩ B) = (B ∩ A’) = (B – A))


(‘A ∩ B) را نیز می توان به شکل زیر نوشت:

A ∩ B’) = A – B)


بنابراین عبارت بالا به شکل زیر خواهد بود:

B – A) ∪ (A – B) ∪ (A ∩ B))


حال با توجه به نمودار ون داریم:

نمودار ون8

 

در نمودار ون، (َA – B) با هاشور نارنجی رنگ،  (B – A) با دایره های توپر مشکی و (A ∩ B) با مثلث های زرد رنگ مشخص شده اند. با توجه به نمودار ون حاصل عبارت B – A) ∪ (A – B) ∪ (A ∩ B)) برابر با A ∪ B می باشد. با توجه به اینکه A ⊆ B است، حاصل A ∪ B مساوی با B  خواهد شد.

 

نکته: برای هر دو مجموعه دلخواه A و B از مجموعه مرجع U داریم:

‘A ⊆ B ⇔ B’ ⊆ A

 


تست سوم) اگر ‘B’ ⊆ A آن گاه مجموعه A – B) ∪ (B – A) ∪ (A ∩ B)) برابر کدام گزینه است؟

  1. A
  2. B
  3. ‘A
  4. ‘B

 

گزینه 2 پاسخ صحیح می باشد.

 

با توجه به اینکه ‘B’ ⊆ A آن گاه A ⊆ B  خواهد بود. با توجه به تست قبلی، حاصل A – B) ∪ (B – A) ∪ (A ∩ B)) برابر با A ∪ B می باشد و چون A ⊆ B است، حاصل A ∪ B مساوی با B خواهد بود.

 


تست چهارم) اگر ‘B’ ⊆ A آن گاه مجموعه A ∩ (B – C)) – (A ∩ B ∩ C)) برابر کدام گزینه است؟

  1. A – C
  2. A ∩ C
  3. A
  4. B

 

گزینه 1 پاسخ صحیح می باشد.

 

اگر ‘B’ ⊆ A باشد آن گاه A ⊆ B است. عبارت A ∩ (B – C)) – (A ∩ B ∩ C))، را به صورت زیر ساده خواهیم کرد:

A ∩ (B -C)) – (A ∩ B ∩ C) = ( A ∩ B ∩ C’) – (A ∩ B ∩ C))

 

چون A ⊆ B است، حاصل A ∩ B برابر با  خواهد بود. بنابراین داریم:

A ∩ B ∩ C’ – (A ∩ B ∩ C) = (A ∩ C’) – (A ∩ C) = A ∩ (C’ – C)

 

با توجه به اینکه دو مجموعه C و ‘C هیچ اشتراکی ندارند. حاصل عبارت بالا برابر با ‘A ∩ C یعنی A – C خواهد شد.

 

فرض کنید A و B دو مجموعه دلخواه از مجموعه مرجع U باشد و مجموعه A زیر مجموعه B باشد، آن گاه برای اجتماع آن ها رابطه زیر را داریم:

A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B

فرض کنید A و B دو مجموعه دلخواه از مجموعه مرجع U باشد و مجموعه A زیر مجموعه B باشد، آن گاه برای اشتراک آن ها رابطه زیر را خواهیم داشت:

A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A

فرض کنید A و B دو مجموعه دلخواه از مجموعه مرجع U باشند و مجموعه A زیر مجموعه B باشد ، آن گاه داریم:

‘A ⊆ B ⇔ B’ ⊆ A

نظرات و پرسش های خود را با ما در میان بگذارید...
اشتراک در
اطلاع از
guest
0 Comments
بازخورد (Feedback) های اینلاین
مشاهده همه دیدگاه ها
0
افکار شما را دوست داریم، لطفا نظر دهید.x